考研数学必做986题

考研数学九道大题

1.

线性代数

题目：

求解线性方程组 $2x 3y = 7$ 和 $4x y = 5$。

解答：

我们可以使用消元法或矩阵方法求解该线性方程组。首先将方程组写成矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}$$

我们可以利用高斯消元法或矩阵求逆的方法求解出 $x$ 和 $y$ 的值。

2.

微积分

题目：

求函数 $f(x) = x^3 3x^2 2x 1$ 在区间 $[1, 2]$ 上的极值点及极值。

解答：

我们求出函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，然后解 $f'(x) = 0$，找出驻点。接着，我们通过二阶导数的符号来判断极值点的类型，进而求出极值。

3.

概率论与数理统计

题目：

从 1 到 10 的整数中随机选择一个数，求选择的数是偶数的概率。

解答：

在 1 到 10 的整数中，有 5 个偶数（2、4、6、8、10），共有 10 个数。因此，选择偶数的概率为 $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。

4.

数学分析

题目：

求函数 $f(x) = \frac{x^2 4}{x 2}$ 在点 $x = 2$ 处的极限。

解答：

当 $x$ 接近 2 时，函数可以被化简为 $f(x) = x 2$，因此极限为 $2 2 = 4$。

5.

离散数学

题目：

证明：若 $a \equiv b \pmod{n}$ 且 $b \equiv c \pmod{n}$，则 $a \equiv c \pmod{n}$。

解答：

由于 $a \equiv b \pmod{n}$，则 $a b$ 可以被 $n$ 整除，即 $a b = kn$，同理，$b c = ln$。将两式相加得到 $a c = (k l)n$，即 $a \equiv c \pmod{n}$。

6.

实变函数

题目：

证明函数 $f(x) = x^3$ 在区间 $[0, 1]$ 上是一致连续的。

解答：

对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，则当 $|x y| < \delta$ 时，有

$$|f(x) f(y)| = |x^3 y^3| = |x y||x^2 xy y^2| < \delta \cdot (1 1 1) = 3\delta = 3\varepsilon$$

因此，$f(x) = x^3$ 在区间 $[0, 1]$ 上是一致连续的。

7.

复变函数

题目：

求复数 $z = 2 3i$ 的共轭复数。

解答：

复数 $z = a bi$ 的共轭复数为 $a bi$。因此，复数 $2 3i$ 的共轭复数为 $2 3i$。

8.

常微分方程

题目：

求微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 的通解。

解答：

对微分方程进行积分得到 $y = x^2 C$，其中 $C$ 为任意常数，因此通解为 $y = x^2 C$。

9.

数论

题目：

证明：如果 $a \mid b$ 且 $b \mid c$，则 $a \mid c$。

解答：

若 $a \mid b$，则存在整数 $k_1$ 使得 $b = ak_1$；若 $b \mid c$，则存在整数 $k_2$ 使得 $c = bk_2$。将两式联立得到 $c = ak_1k_2$，即 $a \mid c$。