数列极限考研压轴题解析

数列极限是考研数学中的重要知识点，也是考研数学分析中的难点之一。在考试中经常会出现极限题目，下面我将针对数列极限考研压轴题进行解析。

已知数列${a_n}$满足$a_{n 1} = \frac{a_n}{2} \frac{1}{a_n}$，且${a_1} = 1$，求$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。

解析：

首先我们观察题目中给出的数列递推式$a_{n 1} = \frac{a_n}{2} \frac{1}{a_n}$，这是一个典型的数列递推问题。为了求得极限，我们需先讨论数列的单调性和有界性。

令$f(x) = \frac{x}{2} \frac{1}{x}$，对$f(x)$求导，得到$f'(x) = \frac{1}{2} \frac{1}{x^2}$。当$x > 0$时，$f'(x) > 0$；当$x < 0$时，$f'(x) < 0$。也就是说，当$x > 0$时，$f(x)$是单调递增函数；当$x < 0$时，$f(x)$是单调递减函数。可以根据导数的符号和函数的单调性得出$f(x)$在$x > 0$时的最小值为2。

因此，数列${a_n}$是单调递增的且大于1的有界数列。根据单调有界数列的性质，${a_n}$存在极限。令$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$，当$n \to \infty$时，$a_{n 1} = a_n = a$。带入题目中给定的递推式可以得到$a = \frac{a}{2} \frac{1}{a}$，解得$a=2$。

因此，$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 2$。

已知数列${b_n}$满足$b_{n 1} = \sqrt{2 b_n}$，且${b_1} = \sqrt{2}$，求$\lim\limits_{n \to \infty} b_n$。

解析：

同样地，我们观察题目中给出的数列递推式$b_{n 1} = \sqrt{2 b_n}$，这也是一个典型的数列递推问题。我们同样需要讨论数列的单调性和有界性。

当$n \to \infty$时，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = a$时，$a = \sqrt{2 a}$。解得$a=2$。

因此，$\lim\limits_{n \to \infty} b_n = 2$。

通过以上两道题的解析，可以总结出数列极限求解的一般思路，即首先讨论数列的单调性和有界性，然后根据递推式求得极限的值。